C++汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

图 12-10   汉诺塔问题示例

我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$ 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

 考虑基本情况

如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 A 移动至 C 即可。

图 12-11   规模为 1 问题的解

如图 12-12 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动。

1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B 。
2. 再将大圆盘从 A 移至 C 。
3. 最后将小圆盘从 B 移至 C 。

图 12-12   规模为 2 问题的解

解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中，C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

子问题分解

对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看做一个整体，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移动至 C 了。

1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移动至 B 。
2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。
3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移动至 C 。

图 12-13   规模为 3 问题的解

本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$ 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。

至此，我们可总结出图 12-14 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。
2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 A 直接移至 C 。
3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。

对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

图 12-14   汉诺塔问题的分治策略

代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar 。

hanota.cpp

/* 移动一个圆盘 */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
    // 从 src 顶部拿出一个圆盘
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    // 将圆盘放入 tar 顶部
    tar.push_back(pan);
}

/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
    // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
    move(src, tar);
    // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
    int n = A.size();
    // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
    dfs(n, A, B, C);
}

如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。

图 12-15   汉诺塔问题的递归树