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C++时间复杂度

2023-09-20 09:22 更新

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns，乘法操作 * 需要 10 ns，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。

例如在以下代码中，输入数据大小为 $n$ ：

// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        cout << 0 << endl;         // 5 ns
    }
}

根据以上方法，可以得到算法运行时间为6n+12 ns ：

$1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6 n + 12$

但实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

统计时间增长趋势

时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法函数 A、B 和 C ：

// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}

图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。

算法 A 只有 1 个打印操作，算法运行时间不随着 n 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
算法 B 中的打印操作需要循环 � 次，算法运行时间随着 n 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
算法 C 中的打印操作需要循环 1000000 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 n 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为“常数阶”。

图 2-7 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势

相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在 n>1 时比算法 A 更慢，在 n>1000000 时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小 � 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。
时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样以来估算难度就大大降低了。
时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 n 较小时，算法 B 明显优于算法 C 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

函数渐近上界

给定一个输入大小为 $n$ 的函数：

void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        cout << 0 << endl;    // +1
    }
}

设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 n 的函数，记为 T(n) ，则以上函数的的操作数量为：

$T (n) = 3 + 2 n$

T(n) 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为 O(n) ，这个数学符号称为「大 O 记号 big-O notation」，表示函数 T(n) 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。

时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 T(n)”的渐近上界，其具有明确的数学定义。

函数渐近上界

若存在正实数c 和实数 $n_{0}$ ，使得对于所有的 $n > n_{0}$ ，均有 $T (n) \leq c \cdot f (n)$ ，则可认为 $f (n)$ 给出了 $T (n)$ 的一个渐近上界，记为 $T (n) = O (f (n))$ 。

如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 f(n) ，使得当 n 趋向于无穷大时，T(n) 和 f(n) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 c 的倍数。

函数的渐近上界

图 2-8 函数的渐近上界

推算方法

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义就可以逐渐领悟。

根据定义，确定 f(n) 之后，我们便可得到时间复杂度 O(f(n)) 。那么如何确定渐近上界 f(n) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

1. 第一步：统计操作数量

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 c⋅f(n) 中的常数项 c 可以取任意大小，因此操作数量 T(n) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。

忽略 T(n) 中的常数项。因为它们都与 n 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
省略所有系数。例如，循环 2n 次、5n+1 次等，都可以简化记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度没有影响。
循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。

给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。

void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
}

以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 $� (�^{2})$ O(n²)。

T(n)=2n(n+1)+(5n+1)+2 完整统计(-.-|||)

=2n²+7n+3

T(n)=n²+n 偷懒统计(o.O)

2. 第二步：判断渐近上界

时间复杂度由多项式 T(n) 中最高阶的项来决定。这是因为在 n 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。

表 2-2 展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 n 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

表 2-2 不同操作数量对应的时间复杂度

操作数量T(n)	时间复杂度O(f(n))
100000	O(1)
3n+2	O(n)
2n²+3n+2	O(n²)
n³+10000n²	O(n³)
2²+10000n¹⁰⁰⁰⁰	O(2^n)

常见类型

设输入数据大小为 $�$ ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。

图 2-9 常见的时间复杂度类型

1. 常数阶 O(1)

常数阶的操作数量与输入数据大小 n 无关，即不随着 n 的变化而变化。

在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小 n 无关，因此时间复杂度仍为 O(1) ：

time_complexity.cpp

/* 常数阶 */
int constant(int n) {
    int count = 0;
    int size = 100000;
    for (int i = 0; i < size; i++)
        count++;
    return count;
}

2. 线性阶 O(n)

线性阶的操作数量相对于输入数据大小 n 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：

time_complexity.cpp

/* 线性阶 */
int linear(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        count++;
    return count;
}

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为O(n)，其中n为数组或链表的长度：

time_complexity.cpp

/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成正比
    for (int num : nums) {
        count++;
    }
    return count;
}

值得注意的是，输入数据大小n需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量n为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度n为数据大小。

3. 平方阶 O(n²)

平方阶的操作数量相对于输入数据大小 n 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 O(n) ，因此总体为 O(n²) ：

time_complexity.cpp

/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成平方关系
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。

图 2-10 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度

以冒泡排序为例，外层循环执行 n−1 次，内层循环执行 n−1、n−2、…、2、1 次，平均为 n/2 次，因此时间复杂度为 O((n−1)n/2)=O(n²) 。

time_complexity.cpp

/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(vector<int> &nums) {
    int count = 0; // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                int tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
                count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count;
}

4. 指数阶 O(2^n)

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 1 个细胞，分裂一轮后变为 2 个，分裂两轮后变为 4 个，以此类推，分裂 n 轮后有 2^n 个细胞。

图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 O(2^n) 。

time_complexity.cpp

/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
    int count = 0, base = 1;
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < base; j++) {
            count++;
        }
        base *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

图 2-11 指数阶的时间复杂度

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 n 次分裂后停止：

time_complexity.cpp

/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}

指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。

5. 对数阶 O(log ⁡n)

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 n ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 log2⁡� ，即 2� 的反函数。

图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 O(log2⁡ n) ，简记为 O(log⁡ n) 。

time_complexity.cpp

/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
    int count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

图 2-12 对数阶的时间复杂度

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 log2⁡ n 的递归树：

time_complexity.cpp

/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
    if (n <= 1)
        return 0;
    return logRecur(n / 2) + 1;
}

对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

O(log⁡ n) 的底数是多少？

准确来说，“一分为m $�$ ”对应的时间复杂度是O(logm n) $� (\log_{�} �)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度：

屏幕截图 2023-09-14 133707

也就是说，底数 m 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 m $�$ ，将对数阶直接记为 O(log n) $� (\log �)$ 。

6. 线性对数阶 O(n log ⁡n)

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 O(log⁡ n) 和 O(n) 。相关代码如下：

time_complexity.cpp

/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 n $�$ ，树共有log2 n+1层，因此时间复杂度为 O(n log n) $� (� \log �)$ 。

图 2-13 线性对数阶的时间复杂度

主流排序算法的时间复杂度通常为 O(n log⁡ n) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

7. 阶乘阶 O(n!)

阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $�$ n 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

屏幕截图 2023-09-14 135757

阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出n个，第二层分裂出 n-1 $� - 1$ 个，以此类推，直至第 $�$ 层时停止分裂：

time_complexity.cpp

/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
    if (n == 0)
        return 1;
    int count = 0;
    // 从 1 个分裂出 n 个
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
    }
    return count;
}

阶乘阶的时间复杂度

图 2-14 阶乘阶的时间复杂度

请注意，因为当 n≥4 时恒有 n!>2^n ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 n 较大时也是不可接受的。

最差、最佳、平均时间复杂度

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为 n 的数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 n 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论。

当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是 1 时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度 O(n) 。
当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个元素为 1 时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度 Ω(1) 。

“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 O 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 Ω 记号表示：

worst_best_time_complexity.cpp

/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
vector<int> randomNumbers(int n) {
    vector<int> nums(n);
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
    }
    // 使用系统时间生成随机种子
    unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
    // 随机打乱数组元素
    shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
    return nums;
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(vector<int> &nums) {
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] == 1)
            return i;
    }
    return -1;
}

值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 Θ 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 n/2 ，平均时间复杂度为 Θ(n/2)=Θ(n) 。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

为什么很少看到 Θ 符号？

可能由于 O 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 O(n)”的表述，请将其直接理解为 Θ(n) 。

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