C++归并排序

「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。

1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

图 11-10   归并排序的划分与合并阶段

11.6.1   算法流程

如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 ​mid​ ，递归划分左子数组（区间 ​[left, mid]​ ）和右子数组（区间 ​[mid + 1, right]​ ）。
2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

图 11-11   归并排序步骤

观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

• 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
• 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

merge_sort.cpp

/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    vector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}

实现合并函数 merge() 存在以下难点。

• 需要特别注意各个变量的含义。nums 的待合并区间为 [left, right] ，但由于 tmp 仅复制了 nums 该区间的元素，因此 tmp 对应区间为 [0, right - left] 。
• 在比较 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小时，还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。

算法特性

• 时间复杂度 O(nlog⁡n)、非自适应排序：划分产生高度为 log⁡n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，因此总体时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。
• 空间复杂度 O(n)、非原地排序：递归深度为 log⁡n ，使用 O(log⁡n) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 O(n) 大小的额外空间。
• 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

链表排序 *

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 O(1) 。

• 划分阶段：可以通过使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
• 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。