哈希优化策略

在算法题中，我们常通过将线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度。我们借助一个算法题来加深理解。

Question

给定一个整数数组 nums 和一个目标元素 target ，请在数组中搜索“和”为 target 的两个元素，并返回它们的数组索引。返回任意一个解即可。

线性查找：以时间换空间

考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 target ，若是则返回它们的索引。

图 10-9   线性查找求解两数之和

two_sum.cpp

/* 方法一：暴力枚举 */
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < size; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target)
                return {i, j};
        }
    }
    return {};
}

此方法的时间复杂度为 $�\left({�}^2\right)$O(n²) ，空间复杂度为 O(1)$�\left(1\right)$ ，在大数据量下非常耗时。

哈希查找：以空间换时间¶

考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组，每轮执行图 10-10 所示的步骤。

1. 判断数字 target - nums[i] 是否在哈希表中，若是则直接返回这两个元素的索引。
2. 将键值对 nums[i] 和索引 i 添加进哈希表。

图 10-10   辅助哈希表求解两数之和

实现代码如下所示，仅需单层循环即可。

two_sum.cpp

/* 方法二：辅助哈希表 */
vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    unordered_map<int, int> dic;
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
            return {dic[target - nums[i]], i};
        }
        dic.emplace(nums[i], i);
    }
    return {};
}

此方法通过哈希查找将时间复杂度从 O(n²) 降低至 O(n) ，大幅提升运行效率。

由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 O(n) 。尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。