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C++哈希冲突

2023-09-20 09:18 更新

上节提到，通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略。

改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作。
仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。图 6-5 展示了一个链式地址哈希表的例子。

链式地址哈希表

图 6-5 链式地址哈希表

哈希表在链式地址下的操作方法发生了一些变化。

查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

链式地址存在以下局限性。

占用空间增大，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点。

使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 0.75 时，我们将哈希表扩容至 2 倍。

hash_map_chaining.cpp

/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
  private:
    int size;                       // 键值对数量
    int capacity;                   // 哈希表容量
    double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio;                // 扩容倍数
    vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组

  public:
    /* 构造方法 */
    HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3), extendRatio(2) {
        buckets.resize(capacity);
    }

    /* 析构方法 */
    ~HashMapChaining() {
        for (auto &bucket : buckets) {
            for (Pair *pair : bucket) {
                // 释放内存
                delete pair;
            }
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return (double)size / (double)capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                return pair->val;
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回 nullptr
        return nullptr;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                pair->val = val;
                return;
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        buckets[index].push_back(new Pair(key, val));
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        auto &bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
            if (bucket[i]->key == key) {
                Pair *tmp = bucket[i];
                bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对
                delete tmp;                       // 释放内存
                size--;
                return;
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets.clear();
        buckets.resize(capacity);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (auto &bucket : bucketsTmp) {
            for (Pair *pair : bucket) {
                put(pair->key, pair->val);
                // 释放内存
                delete pair;
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (auto &bucket : buckets) {
            cout << "[";
            for (Pair *pair : bucket) {
                cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";
            }
            cout << "]\n";
        }
    }
};

值得注意的是，当链表很长时，查询效率 O $(n)$ 很差。此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O (\log n)$ 。

开放寻址

「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。

1. 线性探测

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。

插入元素：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1 ），直至找到空位，将元素插入其中。
查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；如果遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 None 。

图 6-6 展示了一个在开放寻址（线性探测）下工作的哈希表。

开放寻址和线性探测

图 6-6 开放寻址和线性探测

然而，线性探测存在以下缺陷。

不能直接删除元素。删除元素会在数组内产生一个空位，当查找该空位之后的元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。
容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。

以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。

我们使用一个固定的键值对实例 removed 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为 None 或 removed 时，说明这个桶是空的，可用于放置键值对。
在线性探测时，我们从当前索引 index 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。

hash_map_open_addressing.cpp

/* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
  private:
    int size;               // 键值对数量
    int capacity;           // 哈希表容量
    double loadThres;       // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio;        // 扩容倍数
    vector<Pair *> buckets; // 桶数组
    Pair *removed;          // 删除标记

  public:
    /* 构造方法 */
    HashMapOpenAddressing() {
        // 构造方法
        size = 0;
        capacity = 4;
        loadThres = 2.0 / 3.0;
        extendRatio = 2;
        buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
        removed = new Pair(-1, "-1");
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return static_cast<double>(size) / capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            int j = (index + i) % capacity;
            // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 nullptr
            if (buckets[j] == nullptr)
                return nullptr;
            // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
            if (buckets[j]->key == key && buckets[j] != removed)
                return buckets[j]->val;
        }
        return nullptr;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres)
            extend();
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            int j = (index + i) % capacity;
            // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
            if (buckets[j] == nullptr || buckets[j] == removed) {
                buckets[j] = new Pair(key, val);
                size += 1;
                return;
            }
            // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
            if (buckets[j]->key == key) {
                buckets[j]->val = val;
                return;
            }
        }
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            int j = (index + i) % capacity;
            // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
            if (buckets[j] == nullptr)
                return;
            // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
            if (buckets[j]->key == key) {
                delete buckets[j]; // 释放内存
                buckets[j] = removed;
                size -= 1;
                return;
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (Pair *pair : bucketsTmp) {
            if (pair != nullptr && pair != removed) {
                put(pair->key, pair->val);
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (auto &pair : buckets) {
            if (pair != nullptr) {
                cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
            } else {
                cout << "nullptr" << endl;
            }
        }
    }
};

多次哈希

顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 f1(x)、f2(x)、f3(x)、… 进行探测。

插入元素：若哈希函数 f1(x) 出现冲突，则尝试 f2(x) ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
查找元素：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 None 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。

编程语言的选择

Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。

Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。

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